PONTE DE MACARRÃO

9º Ano - Fundamental II (Último trabalho do ano e último do Fund-II)
Feira de Ciências: 08-Novembro-2014

Para a feira de ciência foi montada uma ponte sem nenhuma aula teórica de física e/ou matemática - lamentavelmente -, simplesmente montamos (baseado em alguns xérox que o professor de matemática distribuiu à turma) e colocamos a carga até o limite de ruptura. Portanto, resolvi refazer do zero, após, os exames do ensino médio (=vestibulinho).  

A NOSSA MATÉRIA PRIMA PRINCIPAL PARA ESTE TRABALHO É UM ALIMENTO, PORTANTO, IMPORTANTE NÃO DESPERDIÇAR.  EXISTEM PESSOAS NO MUNDO PASSANDO FOME.

Especificação para projeto de Ponte de Macarrão
Uma vez não existindo uma especificação clara por parte do colégio (para Feira de Ciências, 08.Nov.2014) para este estudo, baseei-me em especificações da UBI (Universidade da Beira Interior – Portugal – encontrei disponível na internet).

1)   A ponte deverá ser executada recorrendo apenas ao espaguete comercial, excluindo-se, portanto, o uso de outro tipo de massa. Não é permitido o uso de massa feita em casa. O espaguete não pode ser modificado para tornar mais forte. O uso de tinta, adesivo ou outro tipo de material para aumentar a resistência do espaguete não é permitido.

2)   O comprimento mínimo das barras de espaguete é de 50 mm. Só é permitida a aplicação de cola em uniões de barras (=nós) e cada 50 mm (ou superior) da barra, sendo que não deve ultrapassar 10 mm do ponto de aplicação.

3)   A cola a utilizar pode ser de qualquer marca, ou finalidades (sugere-se que sejam experimentados vários tipos de cola para determinar qual serve melhor os objetivos).

4)   A ponte deverá ter um comprimento que permita o assentamento num vão de 40 cm, ou melhor, no mínimo 400 mm.

5)   A massa total da estrutura não poderá, em nenhuma hipótese, ultrapassar os 350 gramas.

6)   O apoio das pontes deverá ser apenas efetuado no plano horizontal inferior das superfícies do vão inferior, não sendo permitido qualquer apoio complementar nas superfícies laterais verticais.

7)  Deverá existir no centro da estrutura um espaço para colocar uma placa de aço (ou qualquer material) de 5 x 45 x 105 mm (espessura x largura x comprimento) (ver figura 1) onde será colocado um gancho para pendurar as cargas. O suporte será colocado de forma a que o lado de 105 mm fique perpendicular ao vão da ponte (ver figura 2).

8)  Quanto ao tipo de estrutura a escolha é livre.

9)  O teste de carga será realizado, colocando-se no gancho um dinamômetro que será tracionado com um sistema de roldanas de forma contínua e constante até que a ponte se rompa.  A força medida, no momento do rompimento, será registrada.

ESTUDO (PESQUISA)

O que deveríamos ter estudado e pesquisado nas aulas de física e matemática durante as aulas que antecederam e durante a montagem da ponte.

Sobre treliças planas.

Treliças são estruturas de barras ligadas entre si por nós articulados, cujas cargas se aplicam nesses mesmos nós. Com isso resultam como esforço solicitante nas barras unicamente forças normais. As treliças têm campo de aplicação muito vasto: são usadas nas estruturas de cobertura, desde vãos pequenos a médios, como nas edificações residenciais e industriais, até grandes vãos, como nas coberturas de estádios, de estações metroviárias; são também usadas nas pontes rodoviárias e ferroviárias.

Denomina-se treliça plana o conjunto de elementos de construção (barras redondas, chatas, cantoneiras, perfiladas, etc), interligados entre si, sob forma geométrica triangular, através de pinos, solda, rebites, parafusos, que visam formar uma estrutura rígida, com a finalidade de receber e ceder esforços, sendo que, as cargas externas são aplicadas nos nós.

A denominação treliça plana deve-se ao fato de todos os elementos (do conjunto) pertencerem ao único plano.

Consideramos para efeito de cálculo os esforços aplicados nos nós.

Existem alguns tipos de calculo para determinação dos esforços nas barras, como o Método dos Nós e Método das seções.

Neste trabalho será aplicado apenas o Método dos Nós, pelo conhecimento de matemática que temos na fase de Fundamental-II.

Primeiro: Verificar a condição de isostática da treliça.

Segundo: Calcular as reações de apoio e os esforços normais axiais nos nós.  Tais esforços serão denominados de N.

Terceiro: Calcular os esforços nas barras da treliça plana.

1) Terminologia

                        n = nº de nós

                        b = quantidade de barras

                        r = nº de reações (Verticais e Horizontais)

2) Condição de Treliça Isostática:

                        n = b + r

   

3) Calcular as Reações de Apoio (Vertical e Horizontal), impondo as

condições abaixo:

ΣFx = 0 (Reação Horizontal)

ΣFy = 0 (Reação Vertical)

ΣM = 0 (Momento fletor)

Por convenção usaremos: no sentido horário (+) e no sentido anti-horário ( - )

4) Esforços nas barras:

Por convenção usaremos: no sentido de tração (+) e no sentido de compressão( - ).

Exemplo de cálculo

Vamos determinar as forças normais nas barras da treliça abaixo.

Calculando as reações de apoio vertical:

ΣFy = 0 (Reação Vertical)

As reações em nó A (V_A) e nó B (V_B) são iguais porque a carga está pendurada no ponto médio (simétrico) entre os nós A e B. 

Logo:   

Calculando os esforços nas barras:

Pelo bom senso, as barras 1 e 5 estão comprimidas, pois equilibram as reações de apoio. A barra 3 está tracionada, pois equilibra a ação da carga P no nó D. As barras 2 e 4 estão tracionadas, pois equilibram as componentes horizontais das barras 1 e 5.

Vamos calcular pelos nós A (que igual ao B) possui menor número de incógnitas.

∑F_y = 0  ↔  F_1y = P/2

F_1y = F₁.senα

 

P/2 = F₁.senα  ↔  F₁ = P/2.senα

∑F_x = 0 ↔ F_1x = F₂

F_1x = F₁.cosα

F₂ = F₁.cosα

F₂ = (P/2.senα).cosα  = (P/2).cotgα  ↔  F₂ = (P/2).cotgα  

Agora que temos a força na barra 2, podemos calcular em nó D.

∑F_y = 0  ↔  F₃ = P

∑F_x = 0  ↔  F₄ = F₂   ↔  F₂ = (P/2).cotgα  

Agora, vamos determinar a força normal na barra 5, utilizando o nó B.

As forças normais nas barras 4 e 5, podem ser determinadas através da simetria da estrutura.

∑F_y = 0  ↔  F_5y = P/2

F_5y = F₅.senα 

P/2 = F₅.senα  ↔  F₅ = P/2.senα

∑F_x = 0 ↔ F_5x = F₄

F_5x = F₅.cosα

F₄ = F₅.cosα

F₄ = (P/2.senα).cosα  = (P/2).cotgα  ↔  F₄ = (P/2).cotgα  

Foi escolhida Treliça Nielsen. 

(Para a feira de ciências -8nov2014- escolhemos uma estrutura parecida com a Treliça de Nielsen, por ser esteticamente bonita, pareceu ser mais resistente e diferente de todos outros grupos de trabalho).

Devendo suportar uma massa de 50 Kg (=minha premissa, pois, para a ponte da feira de ciências não havia especificação) colocada (=pendurada) no centro da ponte, utilizando a placa com gancho já definido anteriormente.

Cálculo teórico de esforços nas barras:

Como os esforços são divididos em duas partes, temos para cada parte (=lado)  25Kg, distribuído na barra central da ponte. Veja a figura:

Cálculo e simulação de forças:

Premissa Básica: Projeto de ponte para 50 Kg.

Por convenção:

Força de tração: (+)

Força de compressão: (─)

Para cálculo de forças normais nas barras foi utilizado programa conhecido como FTOOL (software interativo) da PUC (Pontifícia Universidade Católica).

Resultados:

Nomeando os nós para facilitar a visualização dos parâmetros:

Colocando em tabela temos:

Testes de tração e compressão do espaguete:

Dados do espaguete:

• Marca: Petybon
• Tipo: Spaguete
• Número: 8
• Massa do pacote: 500g
• Diâmetro médio do fio: 1.9 mm
• Área média transversal do fio: 2.83 mm²
• Massa linear média: 3,9 mg/mm
• Módulo de Elasticidade Longitudinal (adotado): 3.595 kgf/mm²


Nota: Massa de sêmola com ovos. Ainda contém ferro, ácido fólico; e corantes naturais urucum e cúrcuma. Contém, também, emulsificante (monoglicerídeos ).

Resultados dos testes de compressão (ruptura).

Neste ensaio o resultado depende do fenômeno chamado de flambagem que, por sua vez, depende do número de fios do espaguete e da geometria de como são colocados juntos e do seu comprimento.

Foram preparados 5 conjuntos de prova para os testes de ruptura.  Portanto, os valores da tabela-2 são as médias das tensões de ruptura medidas.

Resultados dos testes de tração (ruptura).

Neste teste o comprimento de espaguete não interfere no resultado, portanto, os testes foram feitos com comprimento de 120 mm.

E podemos considerar que a força de ruptura é diretamente proporcional ao número de fios.  Em outras palavras: se pegarmos 2 fios, a força proporcional é 2 vezes o valor da força de ruptura de 1 fio.

Logo, fizemos os testes com 1 fio.

Este valor foi determinado através do ensaio de 10 corpos de prova submetidos à tração até a ruptura.

Força média de ruptura medida:  3,98 Kgf   (1 fio)






CONSTRUÇÃO DA PONTE CONFORME OS ESTUDOS REALIZADOS ACIMA.

De acordo com a tabela-1 e tabela-2, observando-se os comprimentos e os respectivos esforços.  Escolhemos 10 fios para as barras de compressão e barras de tração.  Quanto às barras de tração poderia ser de 5 fios (que suportam aprox. 200 N), porém, para termos melhor fixação nos nós, decidi construir todas as barras com 10 fios.  Lembrando que a massa final da ponte não deve ultrapassar os 350 g.

Quanto às barras de compressão, praticamente, não há fator de segurança, porém, as de tração o fator de segurança é superior a 2.

Montagem:

1)  Cortamos o macarrão conforme a tabela-1.

2)  Utilizamos adesivo à base de alfacianoacrilato para juntar os fios de macarrão.  Adesivos à base água resultaram em barras quebradiças.

3)  Esperamos 7 dias para a cura total do adesivo (conforme a instrução do fabricante), antes de passar para o próximo passo.

4)  Foi feito um “gabarito” (= um guia) em papelão, para garantir que as 2 partes fiquem iguais.

5)  Utilizamos o adesivo à base de alfacianoacrilato, para fazer a pré-fixação das barras nos nós.

6)  Na fixação definitiva das barras em nós foi utilizado adesivo à base de poliéteres silil terminados (14 dias para cura total).

7)  Para união de 2 partes foram confeccionadas  barras com comprimentos necessários, sendo que utilizamos 5 fios de macarrão. Somente haverá esforços nestas barras, quando iniciar a deformação da ponte com a carga aplicada a esta.

8)  Os procedimentos e os adesivos utilizados são os mesmos dos passos anteriores.

9)  Foi confeccionado um gabarito em madeira, para facilitar a união de 2 partes e garantir o paralelismo das partes. 

Ilustrações:

Teste de Carga

Para o teste de carga montamos um suporte e utilizamos esticadores de cabos de aço, para prender o dinamômetro digital (=balança). O esticador serviu, também, para simular a carga na ponte; é só girar no sentido conveniente que a carga vai aumentando.

Comentários:

Balança Digital utilizada, tipo dinamômetro eletrônico, com sensor de cargas, com duas escalas (automáticas) 0~10 kg - precisão 5 g e 10~50 kg - precisão de 10 g.

A massa total da ponte: 186 g (inferior à 350 g que é a massa máxima (premissa) do projeto).

O peso máximo que a ponte suportou foi de aproximadamente 132 N; foi adotado que a aceleração da gravidade na Cidade de São Paulo é g=9,789 m/s².

O valor teórico de projeto: 494 N. 

Portanto, a ponte suportou apenas 27% de carga prevista.  As causas prováveis dessa diferença: 1) imprecisão na montagem, principalmente, nos nós - na junção das barras; 2) mesmo com a utilização do gabarito de madeira, para unir os lados da ponte, os quatro pontos da ponte não ficaram no mesmo plano, isto é, coplanares. 3) não foi considerado nos cálculos teóricos o esforço máximo de torção dos fios de macarrão.

Durante o teste de carga foi observado que as barras sofreram esforços de torção, os fios iniciaram seu rompimento devido a torção que, pouco antes, do rompimento, nas barras mais do centro, este fenômeno, foi visível a olho nu. Portanto, o rompimento (=quebra) das barras não foram por sobrecargas de tração e compressão, porém, de torção.

Devemos fazer os testes de torção do fio de macarrão e considerar estes resultados nos cálculos teóricos e refazer a ponte, tomando cuidado para que todos os pontos de apoio (4 pontos) fiquem no mesmo plano - que é uma tarefa não muito fácil. 

Nota: 3 pontos sempre definem um plano, porém, 4 pontos não definem um plano.