Telescópio Espacial Hubble

Para feira de ciências (2011-setembro) – 6º ano, fundamental II

Tema: Universo

Coordenador da feira e responsável pelo 6º ano: Prof. Mário Tadeu

Orientador para confecção da maquete: Carlos K Yamamoto

INTRODUÇÃO

O Telescópio Espacial Hubble é um satélite astronômico artificial não tripulado que transporta um grande telescópio que funciona para a faixa de luz visível e infravermelha. Já está para ser aposentado.

Os objetivos do Hubble podem ser resumidos como sendo: Investigar corpos celestes pelo estudo de suas composições, características físicas e dinâmicas; observar a estrutura de estrelas e galáxias e estudar suas formação e evolução; estudar a história e evolução do universo. 

Resumo:

Procedimentos básicos adotados neste trabalho. Pode servir de referência para aqueles que queiram fazer uma miniatura do Hubble.

A imagem de referência para confecção da maquete:

Comprimento: 13,3 m e espelho primário 2,4 m de diâmetro são dimensões reais do telescópio.

Materiais utilizados:

- Reciclados

1)    1 x Embalagem de batata frita, cilíndrica, de papel cartão e alumínio, tipo PRINGLES (ou similar);

2)    Folhas de jornal usado;

3)    Pedaço de papelão de espessura 3~4 mm;

4)    Capas de plástico transparente de caderno usado;

5)    Pedaços de arame (diâmetros diversos);

6)    1 x Gancho metálico do calendário de parede;

7)    1 x dobradiça de uma bolsa de mulher usada;

8)    2 x pedaços de madeira: 7x7x100 mm;

9)    2 x suportes para ovo de chocolate pequeno, aproximadamente, 2 cm de diâmetro;

10) 11 cm x Tubo de alumínio de diâmetro 9~10 mm;

11)  2 parafuso pequeno (comprimento aprox. 4 mm)

- Novos

1)    1 x Palito de bambu para churrasquinho;

2)    1 x Folha de papel tipo fotográfico;

3)    2 x palitos de dente;

4)    50 cm de papel alumínio

- Ferramentas

1)    Tesoura;

2)    Alicate de bico;

3)    Alicate de corte;

4)    Chave de fenda 3x80 mm;

5)    Régua;

6)    Estilete;

7)    Arco de Serra;

8)    Grampeador;

9)    Pincel 10, ou 12;

10) Computador+Impressora a cores+Office.

11) Furadeira;

12) Brocas: 1 mm, 2 mm, 3 mm, 9 mm

- Insumos

1)    Cola branca para madeira e PVC;

2)    Cola instantânea (tipo super bonder);

3)    Tinta base água, prata;

4)    Lixa fina para metal

Dicas para preparação da montagem de maquete.

A escala aproximada adotada da maquete: 1/47,

Logo, o comprimento aproximado da maquete = 28,3 cm (é o comprimento da embalagem de batata frita).

Informações dimensionais:

Figura-1: Informações para montar o corpo do Hubble.

Primeiramente, faça os furos para suporte dos coletores solar (diâmetro, aprox. 9 mm), insira o tubo de alumínio (9 mm de diâmetro) e faça mais 2 furos para o suporte das antenas (diâmetro, aprox. 2 mm), para que o suporte das antenas fique na posição ortogonal (90º graus) ao tubo de alumínio.  

Antes de tudo: retire o tubo de alumínio (fica mais fácil de trabalhar).

E recortar as folhas de jornal, nas larguras de acordo com o desenho e cole (use cola branca) até alcançar os diâmetros conforme a figura. 

Figura-2: Informações dimensionais para a montagem do coletor solar e a portinhola.

Usando um computador imprima (em papel fotográfico) 8 figuras iguais para célula fotovoltaico, nas dimensões indicadas na figura-2, recorte folhas de plástico transparente (em quantidade de 8), para servir de proteção das “células fotovoltaicas”.  Corte o gancho metálico de calendário (no tamanho conveniente), para servir de moldura das células. Utilize cola instantânea para prender os cantos da moldura.

Prepare o suporte (em quantidade de 2) para os coletores solares, utilizando tarugos de madeira (8 x 1 x 1 cm), faça uma fenda de comprimento 5,2 cm, para encaixe do painel solar.  Após o encaixe e fixação do painel, pinte o suporte de prata.

Montagem da portinhola:

Recorte um papelão de espessura (aprox. 4 mm) no formato mostrado na figura-2. Pinte de prata.

Figura-3: Informações para fabricar as antenas e o suporte.

Fabrique 2 antenas parabólicas de abertura conforme a figura-3 e pinte de prata.

MONTAGEM DO HUBBLE:

Peque o corpo do Hubble e insira (de volta) o tubo de alumínio (suporte dos painéis solares). E para que ele não saia de posição faça as arruelas (uma para cada lado) e fixe estas com a cola instantânea.

Atenção: seria bom, o tubo de alumínio estar livre para movimento de rotação para ajustar a inclinação dos painéis.

Fixar a tampa utilizando uma dobradiça.  Faça um adaptador (use madeira, ou outro material) que será utilizado entre a tampa o corpo do Hubble.

Para fixar a tampa com dobradiça utilize a cola instantânea.

Para fixar o adaptador ao corpo do Hubble utilize cola instantânea.

 

Para fixar a tampa com o adaptador utilize os parafusos, ou cola instantânea.

  

Corte o palito de bambu no tamanho certo conforme a figura-3 e atravesse nos furos preparados anteriormente. E fixe com a cola instantânea.  Prenda as duas antenas de acordo com a figura-3.

Encaixe os painéis um da cada vez, tomando o cuidado para que fiquem ambas no mesmo plano e fixe com a cola instantânea.

Retoque com tinta prata os pontos necessários.  E está pronta a miniatura do Telescópio Hubble. 

As fotos da miniatura pronta:

FOGUETE DE GARRAFA PET

– PROPULSÃO À ÁGUA E AR COMPRIMIDO

   (Nível de conhecimento: 9º ano fundamental II)

By Carlos K. Yamamoto e Thiago K. Yamamoto

1. INTRODUÇÃO

O objetivo do trabalho é construir um foguete de garrafa PET, utilizando, para o seu lançamento, água e ar comprimido, aplicando a Terceira Lei de Newton. A terceira lei de Newton (princípio de ação e reação) diz que toda ação tem uma reação de mesma intensidade, mesma direção e sentido oposto. 

Muita gente acha que projetar foguetes a água é coisa simples...

"É só colocar umas asinhas na garrafa pet de refrigerante e está pronto!".

Na verdade, não é bem assim.

Guardada as devidas proporções, um foguete a água é como um foguete espacial. É importante saber o que é Centro de Gravidade, Ângulo de Ataque; Arrasto e Pressão Aerodinâmica, Estabilidade, dentre outras coisas.

Resumo: O foguete de garrafa PET aborda uma grande quantidade de fenômenos físicos e, portanto, o professor e o aluno (mesmo à nível de curso fundamental-II) devem aproveitar a oportunidade, para confrontar a teoria e prática. 

2. ANTES DE TUDO: SEGURANÇA EM PRIMEIRO LUGAR

Parece uma brincadeira para criança.  Mas, não é:
[Tem-se no início do lançamento acelerações de 25g a 285g, onde g=10m/s² - aceleração da gravidade, com massa variando de 700 a 80 gramas. Mais adiante serão demonstrados com cálculos]

Tais acelerações com massas presentes, podem causar, por exemplo, lesões irreversíveis, caso atinja o olho de alguma pessoa durante os procedimentos de lançamentos do foguete PET - não seja imprudente!

Tenha em mente a Lei de Murphy:

“Se alguma coisa pode dar errado, dará. E mais, dará errado da pior maneira, no pior momento e de modo que cause o maior dano possível.”

Portanto, prepare-se para o pior: nunca brinque durante, principalmente, os procedimentos de lançamento do foguete.   Jamais fique na trajetória do foguete.

OS 10 CUIDADOS BÁSICOS:

1) Use sempre garrafas de plástico PET projetado para refrigerantes gaseificados, com formato cilíndrico.

2) Carregue sempre com a pressão inferior ao valor de teste. Faça antes um teste de pressão máxima que a garrafa aguenta.

3) Sempre aponte para uma direção livre de pessoas, árvores, casas, lagos, etc. em toda a sua trajetória possa ser acompanhada com os olhos..

4)   Lance sempre seu foguetes longe de pessoas alheias ao projeto, carros, linhas elétricas e telefônicas.

5) Não use garrafas que mostre sinais de riscos, amassados, ou enfraquecimento do material.

6) Nunca use outro tipo de gás, como propulsão, que não seja o ar ambiente. Usar sempre água comum como massa de reação; jamais use refrigerantes já gaseificados.

7) Nunca faça lançamento com ventos fortes.  O ideal é vento zero.

8) Tenha cuidado com a pressurização. Até uma bombinha de pneu de bicicleta podemos chegar a 6,5 bar = 94,3 libras = 6,42 atm = 6,5 Mpa.

9) Antes de disparar verifique se a água no interior da garrafa está totalmente parada.  Caso ela esteja balançando, o foguete sairá desgovernado.

10) Se possível tenha uma biruta montada e preste atenção a ela. O vento pode mudar de direção repentinamente.

AS 10 PREMISSAS DO PROJETO 

1) Construção do Casco: O foguete será construído de materiais leves, principalmente plásticos, sem nenhuma parte metálica.

2) Propulsão: Utilização apenas de água e ar comprimido dentro dos limites de segurança para cada garrafa empregada.

3) Peso (=massa): O foguete não pesará mais do que 1,5kg ao ser lançado.

4) Estabilidade: Verificar a estabilidade do foguete, determinando seu centro de gravidade (CG) e de pressão (CP) antes do primeiro vôo.

5) Sistema de lançamento: O dispositivo de lançamento de foguetes permitirá que o disparo seja feita a, no mínimo, 3m de distância, e terá uma forma de despressurizar a garrafa com segurança em caso de emergência.

6) Segurança no lançamento: Não permitir que ninguém toque a garrafa nem  que se aproxime da base de lançamento uma vez iniciado o procedimento de pressurização.

7) Condições de lançamento: Não lançar o foguete com vento forte, perto de edificações, de fios elétricos ou telefônicos, de árvores altas, ou sob qualquer outra condição que possa ser perigosa para pessoas ou propriedades.

8) Base de lançamento: Jamais utilizar uma base de lançamentos verticais, para lançamentos oblíquos - projetos são diferentes. 

9) Direção de lançamento: Jamais lançar cuja trajetória leve a algum alvo no solo ou no ar, nem permitir qualquer tipo de carga explosiva, inflamável ou de substâncias perigosas. Todos os lançamentos serão feitos dentro de 45º da vertical.

10) Testes de pré-lançamento: Nas atividades de pesquisa ou desenvolvimento de novo projeto, fazer o possível para determinar sua confiabilidade por meio de testes e ensaios estáticos ou em solo. Fazer o lançamento de foguetes em teste em completo isolamento de pessoas que não estejam efetivamente participando do ensaio. 

3. ADQUIRINDO O KNOW HOW (=conhecimento)

PESQUISA
Se você nunca fez um foguete, leia tudo que puder sobre foguetes. Vasculhe todos os sites disponíveis sobre o assunto e absorva o que puder antes de tudo.

DEFINIÇÃO DA META
Decida primeiramente o alvo (no bom sentido) do seu projeto: Grande altitude? Carga pesada?  Trajetória de precisão? O projeto é viável tecnicamente, ou é apenas bonito para uma exposição da feira de ciências? Pode ser feito com sucata ou precisa de peças e materiais caros?

Nosso caso o objetivo é alcançar a maior distância horizontal.

CAPACITAÇÃO (Material e Conhecimento)
Uma palavra muito importante... Você tem as ferramentas necessárias à mão? Vai ter que fazer um desenho em tamanho natural para ver se tudo se encaixa direitinho? Vai precisar fazer um modelo no computador? Você realmente tem habilidade e conhecimento suficiente para dar conta de construir, especificamente, esse projeto?

Um pouco de teoria

O objetivo do trabalho é construir um foguete de garrafa PET, utilizando, para o seu lançamento, água e ar comprimido, aplicando a Terceira Lei de Newton. A terceira lei de Newton (princípio de ação e reação) diz que toda ação tem uma reação de mesma intensidade, mesma direção e sentido oposto. 

Centro de massa ou centro de gravidade

O centro de massa (CM), também, conhecido por centro da gravidade (CG), consiste num ponto de um sistema físico composto por várias massas de um corpo rígido, no qual se pode considerar situada toda a massa concentrada, quando se analisa o movimento do referido sistema, no interior de um campo de forças homogêneo e exterior.

Resumidamente: O centro de massa (ou centro de gravidade) é o ponto no qual, se concentra a massa de um corpo. 

Figura-1

Centro de pressão

O centro de pressão (CP) é um ponto aonde atua a resultante das forcas aerodinâmicas as quais o foguete está sujeito.

A localização de tal ponto no corpo do foguete e determinado por um conjunto de fatores, que incluem:

·         Comprimento e forma da Coifa (Nariz) do foguete.

·         Comprimento do foguete em si

·         Dimensões e formas das aletas (O mais importante ).

Estabilidade

Uma garrafa nua pode ser lançada como foguete, mas ela certamente vai girar e rolar, o que causará, dentre outras coisas, um arrasto (força que tende a empurrar o foguete para trás) muito maior do que outra garrafa que consegue manter-se com o nariz sempre apontado para frente.

A estabilidade (E) de um foguete depende das posições relativas do centro da massa e do centro de pressão.  Por via de regra o centro de massa deve se localizar mais próximo do nariz e o centro de pressão atrás deste. E a distância entre os dois deve ser igual ao diâmetro externo máximo (dmax) da fuselagem.

Nota: caso seja inferior ao diâmetro externo máximo, o foguete será instável e se for superior, será muito estável e o foguete será muito carregado pelo vento.

É um número adimensional; onde d_MAX é o maior diâmetro da fuselagem do foguete e CP e CG são medidos a partir da ponta do nariz.

• Estável: E > 0 (recomenda-se usar E > 1;  E= 1 em geral já é suficiente)
• Neutra:  E = 0
• Instável: E < 0

Ângulo de ataque

Chamamos de ângulo de ataque àquele formado pela posição da fuselagem do foguete (no sentido longitudinal) em relação ao fluxo de ar produzido pelo seu deslocamento (vento induzido), adicionado de forma  vetorial com o vento natural (vento real) existente sobre a fuselagem. Quanto menor for esse ângulo, mais alinhado o foguete estará.

Figura-2

O vento real é aquele que sentimos quando estamos parados, é o deslocamento de massas de ar, derivado dos efeitos das diferenças de pressão atmosférica entre duas regiões distintas.  Responsável pela perturbação na trajetória.

O vento induzido é aquele gerado quando nos deslocamos através de uma massa de ar.  Responsável pela força de arrasto.

O vento aparente (ou virtual) é a soma vetorial dos ventos real e induzido.

Força de arrasto

Arrasto é a força que faz resistência ao movimento de um objeto sólido através de um fluido (um líquido ou gás). O arrasto é feito de forças de fricção (atrito), que agem em direção paralela à superfície do objeto, portanto, depende da velocidade deste objeto.

Fórmula para calcular a força de arrasto: 

• Fd é a força do arrasto.
• Cx é o coeficiente de arrasto (grandeza sem dimensões determinada experimentalmente) – depende do tipo de nariz do foguete
• ρ é a massa específica do fluido (Na atmosfera terrestre, e de acordo com a equação barométrica tem o valor de 1,293 kg/m3 a 25°C e 1 atmosfera),
• v é a velocidade do foguete em relação ao fluido,
• A = área de referência (=área transversal do foguete)

As forças atuantes sobre foguete

Todas as forças existentes no lançamento com uma inclinação de, por exemplo, 45º em relação ao vertical.

 Vamos admitir que:

1) O vento natural inexistente (velocidade do vento natural é quase zero);

2) A densidade do ar é constante na trajetória (variação desprezível);

3) A massa  total de água e ar de propulsão iguais a zero (não existe variação de massa, após ejeção total de água);

4) Coeficiente de arrasto (Cx) é constante com a velocidade.

Figura-3

PESO (P):

P = mg (peso total), onde m = massa e g = aceleração da gravidade

Py = mg  (componente vertical)

Px = 0 (componente horizontal)   

FORÇA DE ARRASTO (A):

A = 1/2.Cx.ρ.v².A     

Onde:

Cx = coeficiente de arrasto (=coeficiente de atrito)

ρ = densidade do ar (massa específica do ar)

v² = velocidade do foguete em relação ao ar

A  = área transversal do foguete (área de referência)

Ax = A.cosα

Ay = A.senα

É uma força que faz oposição ao movimento (pois é força de atrito).

FORÇA DE EMPUXO (E):

E = força de empuxo total

Ex = E.cosα

Ey = E.senα 

CÁLCULO DO EMPUXO

O escoamento de água através do orifício de saída da garrafa provoca uma força de empuxo, ou força de reação. A mecânica do problema é a mesma que envolve a propulsão a jato. Sob algumas condições que a equação de Bernoulli possa ser aplicada, pode-se calcular empuxo no sistema (Garrafa, água e ar pressurizado). 

Figura-4

Se A₂ é a área do orifício de saída, ρ é a densidade do fluido que está sendo expelido e v₂ é a velocidade de ejeção (descarga), a massa do fluido expelida no tempo dt será ρ.A₂.v².dt e seu momento linear (massa x velocidade) será

ρ.A₂.(v₂)²dt.   Como a velocidade no ponto 1 é muito menor do que no ponto 2 (Velocidade de ejeção), pode-se dizer que o fluido inicia o escoamento partindo do repouso, adquirindo o momento acima no tempo dt.

A taxa de variação de momento será conseqüentemente 

que, pela Segunda Lei de Newton (F=m.a), é igual à Forca que atua sobre ele.

Pela Terceira Lei de Newton, uma Força de Reação igual e de sentido contrário atua no restante do sistema. Usando a expressão do Teorema de Torricelli, tem-se:

Onde:

- P é a pressão interna da garrafa;

- Pa é a pressão atmosférica.

- v₂ é a velocidade de descarga (=ejeção)

- ρ é a densidade da água (= 997,0479 Kg/m³)

A Força de Reação (=Força de Empuxo) pode ser escrita como:

Enquanto a velocidade de descarga é inversamente proporcional à densidade, o empuxo independe da massa, sendo função apenas da área de saída e da pressão manométrica (P–Pa). 

Velocidade de expansão do Ar no foguete

Podemos relacionar a taxa que água é ejetada com a taxa com que o volume de ar V dentro do foguete aumenta. (Esta relação é conhecida como equação de continuidade).

O tempo ∆t gasto durante o processo  expansão é pequeno, portanto, podemos desprezar as trocas de calor que acontece no foguete, logo é uma expansão tipo adiabática.

Admitindo que o ar seja um gás ideal, é verdade que:

P₀  = pressão absoluta inicial dentro do foguete

V₀ = volume inicial de ar dentro do mesmo

V = volume final, que é o volume da garrafa

= razão entre os calores específicos molares à pressão constante (Cp) e à volume constante (Cv)

Podemos agora calcular a velocidade de escape “v ” da seguinte forma:

Onde:

- P é a pressão interna da garrafa em função de volume inicial e final do ar;

- Pa é a pressão atmosférica.

- v  é a velocidade de descarga (=ejeção)

- ρ é a densidade da água (= 997,0479 Kg/m³)

CÁLCULO (Calculando a Força de Empuxo):

Dados do foguete:

• Volume interno = 2 litros = 0,02 m³
• Diâmetro interno da garrafa = 100 mm = 0,1 m;
• Diâmetro da saída = 21,5 mm = 0,0215 m;
• Pressão interna relativa = 500.000 Pa (=72,5 psi, libras/polegadas ao quadrado), pressão máxima da garrafa PET utilizado = 965 KPa (140 Psi); (500 KPa = 72,5 Psi = 5 Bar)

• Pressão atmosférica: 100.000 Pa

Logo, o valor de  Ey = E.senα  (= parte do empuxo responsável pela elevação do foguete, quando o lançamento é 45º em relação ao vertical).

Ey = 290,44*0,707 = 205,37 N

Da mesma forma, parte do empuxo responsável pelo deslocamento horizontal é: Ex = E.cosα

Ex = 290,44 * 0,707 = 205,37 N  

Quando um corpo varia a sua velocidade com o tempo, diz-se que o corpo esta sofrendo uma aceleração. O empuxo calculado por Bernoulli expressa o valor máximo da força de empuxo. O foguete em vôo comporta-se com outras forças atuando no sistema como:

1- Peso

2- Resistência (=atrito) do ar (conhecido como Força de Arrasto)

Para simplificar desprezaremos a resistência do ar e o vento. Portanto a Força resultante (Fr) será a Força de Empuxo (Fe) menos a Força Peso (Fp).

Fr = Fe –Fp = E – P 

Onde:

Fr é a Força Resultante;

E = Fe é a Força de Empuxo;

P = Fp é a Força Peso.

No sentido y (vertical)

Dados para um foguete que será lançado na direção vertical:

g = 10 m/s²  (Adotado);

Empuxo E = 290,44 N (calculado);

Massa do foguete = 100 g = 0,1 kg;   P = 1 N;

Massa da água = 600 ml, aproximadamente 0,6 kg. P = 6 N.

Fr = E – P =  290,44 – (1 + 6) = 283,44 N 

Então, pela 2^a Lei de NEWTON, a aceleração será:

Fr = m.a

Massa inicial: 0,7 kg

Massa final: 0,1 kg

1) Aceleração inicial = 283,44 / 0,7 = 404,91 m/s²

(aproximadamente: 40g, g=aceleração da gravidade)

2) Aceleração final = 283,44 / 0,1 = 2.834,40 m/s²

(aproximadamente: 283g)

Vamos calcular a velocidade aproximada do foguete, após a ejeção total de água:

Adotaremos os seguintes dados:

a) A aceleração do foguete = 404,91 m/s², constante durante toda a ejeção de água (o que não é verdadeiro, pelos cálculos anteriores);

b) O tempo gasto pela ejeção = 70 ms = 0,070 s

A velocidade pela equação básica de cinemática:

V = Vo + a.t  (movimento retilíneo uniformemente variado - MRUV)

Sendo que Vo = 0, porque o foguete estará em repouso (=parado) na plataforma de lançamento.

Esta velocidade V será a velocidade inicial do foguete após a ejeção total de água, portanto, quando inicia o movimento balístico (sem propulsão).

V = a.t = 404,91 * 0,070 = 28, 34 m/s   →  V = 28,34 m/s

Também, podemos calcular a mesma velocidade, utilizando a seguinte equação (mecânica dos fluidos):

Onde:

• P é a pressão interna da garrafa em função de volume inicial e final do ar (= 500.000 Pa, valor adotado: aprox. metade da pressão que suporta a garrafa PET);

• Pa é a pressão atmosférica (= 100.000 Pa).
• v  é a velocidade de descarga (=ejeção)
• ρ é a densidade da água (= 997,0479 Kg/m³)

Portanto, temos:

Verifica-se que há uma pequena diferença entre as duas velocidades encontradas, mas, podemos desprezá-la.

Cálculo da altura máxima para lançamento vertical

Figura-5

Pela conservação de energia, temos que:

(Ec)inicial + (Ep)inicial = (Ec)final + (Ep)final

Onde:

Ec = Energia cinética

Ep = Energia potencial

(Ep)_inicial = 0, altura = zero

(Ec)_final = 0, velocidade final = zero

Logo temos:

Então,

Cálculo da altura e distância horizontal para lançamento a α graus em relação à horizontal (=lançamento oblíquo).

Figura-6

Voy = Vo. senα

Vox = Vo. cosα

O lançamento oblíquo resulta da composição de dois movimentos independentes:

a) Movimento vertical – Nesse movimento, a velocidade é variável, pois o corpo está sujeito à aceleração da gravidade: na subida, o movimento é retardado (velocidade e aceleração têm sentidos contrários); na descida, o movimento é acelerado (velocidade e aceleração têm sentidos iguais).
No ponto mais alto da trajetória, podemos dizer que a componente vertical da velocidade do foguete, automaticamente, irá se anular; e a velocidade irá diminuir à componente horizontal.



Vy = Vo . senα – g.t

No ponto mais alto, temos que Vy = 0 e t = tsubida

Logo:

0 = Vo.senα – g.ts

Pela conservação de energia, temos que:(a altura máxima)

b) Movimento horizontal – Esse movimento é uniforme, uma vez que Vox é constante (desprezando-se a resistência do ar).

É importante lembrar que: O alcance é mesmo para diferentes corpos, lançados com a mesma velocidade inicial e com ângulos de lançamento complementares (aqueles cuja soma vale 90°).

                    

O tempo total é igual a:
tempo de subida + tempo de queda (=descida)

O alcance pode ser calculado pela seguinte equação:
(Movimento Uniforme, Velocidade constante)

                     

Podemos notar que D é máximo, quando sen2α = 1.

Neste caso o seno deve ser igual a 1,

quando 2α = 90º, logo α = 45º

Retornando ao nosso projeto:

A altura máxima para o lançamento de a 45º em relação horizontal.

Vo = 28,34 m/s      

α = 45º

g = 10 m/s²

sen45º = 0,7071

Logo,  Hmax = [(28,34)² . (0,7071)²] / 2.10 = 20,08 m

Hmax = 20,08 m

A distância máxima para o mesmo lançamento:

Dmax = (28,34)² / 10 = 80,32 m   →    Dmax = 80,32 m

Montagem do foguete PET.

Materiais utilizados:

Foguete:

1) 2 garrafas PET de 2 litros, cilíndrica e com paredes lisas, para refrigerante gaseificado;

      - Fuselagem e nariz do foguete

2) 1 rolo (de papelão) – o que sobra de um rolo de papel alumínio

      - Ponta do nariz do foguete

3)  40 g de areia

      - Ajuste do centro de massa

4)  1 folha de isopor de 4 mm (aproximadamente)

      -Aletas (=empenas) do foguete

5)  1 canaleta de PVC para encadernação.

      - Fixação das empenas (=aletas, asas)

Plataforma de lançamento:

6) 1 x Tubo de alumínio 1/4",  500 MM

7) 1 x Luva PVC 25 MM

8) 1 x Tubo de PVC 25 MM, 500 MM

9) 4 x Tee PVC 25MM

10) 2 x Bicos para pneu de automóvel

11) 1 x Espigão de latão, fêmea, 1/4” rosca BSP

12) 1 x Espigão de latão, macho, 1/4" rosca NPT

13) 1 x Válvula esfera de PVC, 25 MM

14) 1 x Manômetro escala dupla (0 ~10 bar, 0 ~ 140 psi), diâmetro 6,3 MM, conexão 1/4" BSP

15) 5 M de mangueira plástica 1/4”

16) 65 CM de viga de madeira ( 5 x 10 CM )

17) 1 x Chapa de aglomerado (34 x 69 CM)

18) 1 x Luva de PVC, 40 MM

19) Pregos diversos

20) Parafusos autoatarraxante diversos
21) Pedaços de chapas de madeira diversos
22) 10 x abraçadeiras nylon 48 x 200 MM

Genérico:
1) Barbante – 3 m;
2) Placa de madeira (aglomerado) – base de trabalho;

  

Insumos:

1)  Fita adesiva, Silver Tape (3M) – 5m: resistente a ruptura, à água, apresenta memória mecânica boa dentro da sua faixa de elasticidade.

2)  Fita adesiva, reforçada de tecido, Adelbrás – 5m: resistente à ruptura, à água, boa elasticidade;

3)  Adesivo FIXTUDO, Adespec, 1 tubo de 20g – resistente à água, choque, tração, flexão, torção, temperaturas -40ºC ~ 120ºC.

4) 1 x Tubo de cola para PVC, 20 g

Ferramentas e equipamentos

1)   Paquímetro;

2)   Régua – 40 cm;

3)   Trena – 5 m;

4)   Tesoura;

5)   Estilete;

6)   Alicate de corte;

7)   Lixa de unha;

8)   Balança de precisão;

9)   Canetas diversas;

10) Compasso;

11) Arco de serra;

12) Chaves de fenda – diversos tamanhos;

13) Pincel – diversos tamanhos;

14) Furadeira;

15) Brocas – diversos;
16) Esquadro de marceneiro
17) Serrote manual
18) Catavento (fabricação própria) - (direção e sentido do vento)
19) Bomba de ar, pressão nominal 10 bar
20) Anemômetro Digital TAD-500 Instrutherm (velocidade do vento)
21) Astrolábio (fabricação própria)

22) Bússola (=compasso)

Para execução da montagem do modelo adotamos a seguinte forma:

Quanto mais precisa a preparação das partes e da montagem, como consequência, tem-se melhor eficiência de voo.

Primeira Etapa (Fuselagem):

Mantenha uma das garrafas intacta; corte a parte superior da outra garrafa e com a fita adesiva cole-a ao fundo da garrafa que está intacta; amarre o barbante em torno dessa garrafa, posicione-o sobre o centro de massa, segure na outra extremidade do barbante e gire o conjunto em torno de você, para verificar as condições de estabilidade; um conjunto estável deve girar com o nariz apontando para a direção do movimento.

Figura-7


Segunda Etapa (Empenas):

Desenhe a empena no papel grosso, conforme o projeto, e use a como gabarito, desenhe sobre as folhas de isopor e corte-as; pense em uma maneira de fixar as empenas (utilizamos canaleta de PVC com outro pedaço de garrafa PET) na região do bico da garrafa intacta (bocal de saída), ou seja, o mais baixo possível. As empenas após a fixação devem estar alinhadas e simétricas; novamente, com a utilização do barbante faça o teste de estabilidade.

Notas:

• Temos que projetar e construir uma empena feita de um material muito mais leve do que o resto do foguete. Não deve influenciar muito no deslocamento do centro de massa.
• As empenas são facilmente substituíveis.  Se houver algum dano podemos trocar as empenas de forma fácil.
• As dimensões finais da empena foram conseguidas empiricamente durante os testes de estabilidade, observando-se a distância entre o centro de massa (=gravidade) e centro de pressão.

Figura-8

Detalhe da peça para fixação da empena.

Figura-9

Figura-10, detalhe de fixação da canaleta.

Figura-11, a altura do pedaço da garrafa PET é 65 MM.

Figura-12



Terceira Etapa (Ponta do nariz):

Fazer a ponta do nariz para que suporte o impacto com o solo no final da queda (e outras palavras, quando retorna ao solo). Utilizar rolo de papelão duro e isopor.

Nota:

• O nariz é facilmente substituível se houver algum dano.

Quarta Etapa (Ajustes):

É importante garantir a estabilidade do foguete. A distância entre o centro de massa e centro de pressão deverá ser aproximadamente igual ao diâmetro transversal maior da fuselagem. Existem três maneiras de fazer este ajuste, se houver necessidade: i) aumente a massa do nariz, ou; ii) aumente o tamanho da empena, ou; iii) ambas as operações.

Lembrar que o centro de massa deverá estar mais próximo do nariz do foguete e centro de pressão deverá estar abaixo, aproximadamente, diâmetro da fuselagem (parte mais larga).  Se esta distância for muito menor que o diâmetro teremos um foguete instável, porém, se tivermos distância muito maior que o diâmetro, então teremos um foguete super estável (neste caso, a tendência do foguete é se alinhar com o vento natural presente no local do lançamento).

Figura-13, foguete PET já montado.

Figura-14, Pintado e pronto para o lançamento

A montagem da plataforma (=base) de lançamento.

Preparamos todas as partes da parte de suporte (100% de madeira) e da parte de pneumática (=pressão).  Utilizamos pregos e parafusos autoatarraxante para madeiras e adesivo para PVC.

Figura-15: base de lançamento

O manômetro é para monitorar a pressão real do sistema durante a pressurização e no momento do disparo.  Podemos calcular o empuxo com mais exatidão.

A válvula esfera é para eventual despressurização do sistema na emergência e para dreno da água acumulada no sistema sem ter que virar a base, que durante os lançamentos de teste está "pregado" ao solo.

Base de lançamento foi projetada para que a pressurização e disparo do foguete sejam realizados a uma distância de 3 metros.

O sistema de lançamento tem a massa de 6,5 KG, portanto, insuficiente para reagir contra ao componente horizontal da força de empuxo, portanto, devemos chumbar (=pregar) ao solo.

Para os testes de lançamento:

Condições:
1) Pressão interna: 5 bar;
2) Lançamento oblíquo: 45º em relação ao solo;
3) Paralela ao vento natural no mesmo sentido;
4) Paralela ao vento natural no sentido contrário;
5) Oblíquo à direção do vento.

Medir em todas condições acima:
a)  distância (horizontal e vertical) do voo e o tempo total gasto;
b) verificar (visualmente) o comportamento do foguete durante a viagem, se apresenta rotação, trepidação, correção da influência do vento, etc.



Resultados dos testes de lançamento:

O evento de lançamento agendado pelo colégio (Escola Cristã Pan Americana (PACA), Rua Cássio de Campos Nogueira, 393 - Cidade Dutra São Paulo - SP, 25 de outubro 2014). Não aproveitamos nenhum resultado deste lançamento (que foi único). Vale observar que uma outra equipe construiu o seu foguete com nossas especificações e notamos que o foguete se comportou muito bem durante o voo - tivemos a certeza que o nosso projeto está correto.  Por outro lado, o lançamento realizado pela nossa equipe foi um desastre... os amigos que fizeram o lançamento, não souberam nem fixar o ângulo de lançamento.

Um dia depois (domingo, 26 de outubro de 2014) realizamos os primeiros lançamentos com a nossa especificação, com a nossa base de lançamento de segurança para os lançadores.
Local: Parque Natural Municipal Fazenda do Carmo (PNMFC) - que não é Parque do Carmo, escolhemos este local porque não há frequentadores mesmo no domingo.

Não obtivemos resultados que esperávamos, porque o vazamento na conexão do foguete e base eram muito grande na pressurização.  E para ser disparado de uma distância segura devemos ter uma pressurização estável sem vazamentos, ou vazamento mínimo.  A pressurização máxima que conseguimos foi de aproximadamente 1,5 Kgf/cm². 

A semana seguinte foi para reparar a parte da conexão.

Parâmetros reais de lançamentos
(Local dos testes finais: Município de Itu-São Paulo)
[Data: 27-Jan-2015 (verão brasileiro)]

Houve outro imprevisto durante os testes lançamentos: devido ao vazamento na conexão do foguete com a base de lançamento, não obtivemos sucesso no reparo do vazamento, portanto, não conseguimos uma pressão de 500.000 Pa (para lançamento) como havíamos considerado nos cálculos teóricos.

1) Pressão de lançamento anotado: 375.000 Pa (3,75 Bar, ~3,8 Kgf/cm²)
2) Pressão atmosférica local: 93.219 Pa (0,93 Bar, 0,95m Kgf/cm²)
3) Aceleração da gravidade local: 9,806 m/s²
4) Vento local medido: 1,3 m/s, direção: SE (sudeste)/NO (noroeste); sentido: de NO (noroeste) para SE (sudeste)
5) Densidade da água: 997,0479 Kg/m³
6) Quantidade de água utilizada por lançamento: 600 ml

Figura-16: foguete pronto para o lançamento

7) Distância máxima (média) anotada: 59,0 metros;
8) Altura máxima (média) medida (por astrolábio): 15 metros.

Figura-17: Instrumentação utilizada

Comentários sobre os resultados obtidos:

1. O vento presente no momento dos testes não influenciou nos resultados dos testes.
2. Quanto à distância horizontal máxima (média):  O valor teórico recalculado é: 57,72 metros, pois:  P = 375.000 Pa, Pa = 93.219 Pa, ρ = 997,0479 (densidade da água), logo velocidade inicial do foguete é dado por:  vo = raiz[2*(P - Pa)/ρ] = 23,79 m/s.       O valor medido (59,0 metros) é ligeiramente superior ao valor teórico (57,72 metros). A diferença é de 1,28 metros (=2%), portanto, está, totalmente, dentro do esperado. E este erro é, provavelmente, o reflexo da soma de erros nas medidas da pressão interna do foguete e da pressão atmosférica. 
3. Quanto à altura máxima (média): O valor teórico recalculado é: 14,43 metros.  Sendo que o valor (médio) medido foi de: 15,12.  Observa-se que o valor médio medido é ligeiramente maior que o valor teórico esperado.   A diferença é de: 0,69 metros (=5%), este erro é devido à precisão na medida da altura por astrolábio (depende muito de quem está medindo).  Um erro de 5% é perfeitamente aceitável dentro das condições de ensaio. 
4. O foguete não apresentou comportamento anormal durante o voo, comprovando que o projeto resultou em um foguete estável. 

Para terminar, alguns comentários:

Do ponto de vista de física: este trabalho permitiu a exploração de vários conceitos físicos, por exemplo, empuxo, força de arrasto, ventos virtuais, trajetória, movimento, força, momento e energia.

Matematicamente: observaram-se aspectos importantes como ferramenta para solução de problemas, a matemática como raciocínio, geometria, computação (=planilha microsoft-excel) e estimativa.

Este trabalho serviu para desenvolver habilidades do processo científico como da observação, medida e coleta de dados, inferência, previsão, construção de modelos, interpretação de dados (entre teóricos e empíricos), controle de variáveis, capacidade de definição operacional e investigação.

A finalidade principal deste trabalho-estudo não foi aprender a montar um foguete PET e seu respectivo disparador.  Mas, sim, infinidades de estudos realizados no campo de física e aplicação da matemática como ferramenta.